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已知3阶矩阵A与3维列向量x，使x，Ax，A2x线性无关，且满足A3x=3Ax一2A2x，令P=(x，Ax，A2X) (1)求3阶矩阵B，使A=PBP-1；(2)求｜A+E｜的值．
已知3阶矩阵A与3维列向量x，使x，Ax，A2x线性无关，且满足A3x=3Ax一2A2x，令P=(x，Ax，A2X) (1)求3阶矩阵B，使A=PBP-1；(2)求｜A+E｜的值．
admin
2017-07-10
67
问题
已知3阶矩阵A与3维列向量x，使x，Ax，A
2
x线性无关，且满足A
3
x=3Ax一2A
2
x，令P=(x，Ax，A
2
X)
(1)求3阶矩阵B，使A=PBP
-1
；(2)求｜A+E｜的值．
选项
答案
(1)设[*]则由AP=PB得[*]上式可写为 Ax=a
1
x+b
1
Ax+c
1
A
2
x， (1) A
2
x=a
2
x+b
2
Ax+c
2
A
2
x， (2)A
3
x=a
3
x+b
3
Ax+c
3
A
2
x． (3) 将A
3
x=3Ax一2A
2
x代入(3)式得3Ax-2A
2
x=a
3
x+b
3
Ax+c
3
A
2
x． (4) 整理得 a
1
x+(b
1
-1)Ax+c
1
A
2
x=0， a
2
x+b
2
Ax+(c
2
—1)A
2
x=0， a
3
x+(b
3
-3)Ax+(c
3
+2)A
2
x=0． 由于x，Ax，A
2
x线性无关，故 a
1
=c
1
=0，b
1
=1； a
2
=b
2
=0，c
2
=1； a
3
=0，b
3
=3，x
3
=-2． 从而[*](2)由(1)知A与B相似，故A+E与B+E也相似，从而[*]
解析
本题是向量与矩阵的综合题，主要考查向量组的线性相关性．
转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/Qqt4777K
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