2. 考研
  3. 设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，且f’(x)＞0。若极限f(2x－a)／(x－a)存在，证明： (Ⅰ)在(a，b)内f(x)＞0； (Ⅱ)在(a，b)内存在点ξ，使(b2－a2)／∫abf(x)dx=2ξ／f(ξ)； (Ⅲ

设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，且f’(x)＞0。若极限f(2x－a)／(x－a)存在，证明： (Ⅰ)在(a，b)内f(x)＞0； (Ⅱ)在(a，b)内存在点ξ，使(b2－a2)／∫abf(x)dx=2ξ／f(ξ)； (Ⅲ

admin2018-04-14  81
问题 设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，且f’(x)＞0。若极限f(2x－a)／(x－a)存在，证明：
(Ⅰ)在(a，b)内f(x)＞0；
(Ⅱ)在(a，b)内存在点ξ，使(b2－a2)／∫abf(x)dx=2ξ／f(ξ)；
(Ⅲ)在(a，b)内存在与(Ⅱ)中ξ相异的点η，使f’(η)(b2－a2)=2ξ／(ξ－a)∫abf(x)dx。
选项
答案(Ⅰ)由题设[*]存在，故 [*]f(2x－a)=f(a)=0。 又f’(x)＞0，所以f(x)在(a，b)内单调增加，故 f(x)＞f(a)=0，x∈(a，b)。 (Ⅱ)设F(x)=x2，g(x)=∫axf(t)dt(a≤x≤b)，则g’(x)=f(x)＞0(由(Ⅰ)已证得)，故F(x)，g(x)满足柯西中值定理的条件，因此在(a，b)内存在点ξ，使 [*] 即(b2－a2)／∫abf(x)dx=2ξ／f(ξ)。 (Ⅲ)由题设可知f(a)=0，所以f(ξ)=f(ξ)－f(a)，在[a，ξ]上应用拉格朗日中值定理，知在(a，ξ)内存在一点η，使f(ξ)=f’(η)(ξ－a)，从而由(Ⅱ)的结论得 [*] 即f’(η)(b2－a2)=2ξ／(ξ－a)∫abf(x)dx。
解析
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考研数学二

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