已知A是n阶实对称矩阵，λ1，λ2，…，λn是A的特征值，ξ1，ξ2，…，ξn是A对应的n个标准正交特征向量，证明：A可表示为 A=λ1ξ1ξ1T+λ2ξ2ξ2T+…+λnξnξnT．

admin2017-07-26 77

问题已知A是n阶实对称矩阵，λ₁，λ₂，…，λ_n是A的特征值，ξ₁，ξ₂，…，ξ_n是A对应的n个标准正交特征向量，证明：A可表示为
A=λ₁ξ₁ξ₁^T+λ₂ξ₂ξ₂^T+…+λ_nξ_nξ_n^T．

选项

答案取Q=[ξ₁，ξ₂，…，ξ_n]，则Q^—1=Q^T，且 Q^—1AQ=Q^TAQ=diag[λ₁，λ₂，…，λ_n]， [*] =λ₁ξ₁ξ₁^T+λ₂ξ₂ξ₂^T+…+λ_nξ_nξ_n^T．

解析

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考研数学三

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