设α，β为四维非零的正交向量，且A=αβT，则A的线性无关的特征向量个数为( )．

admin2017-12-21 94

问题设α，β为四维非零的正交向量，且A=αβ^T，则A的线性无关的特征向量个数为( )．

选项 A、1个
B、2个
C、3个
D、4个

答案C

解析令AX=λX，则A²X=λ²X，因为α，β正交，所以α^Tβ=β^Tα=0，A²=αβ^T·αβ^T=O，于是λ²X=0，故λ₁λ₂λ₃λ₄=0，因为α，β为非零向量，所以A为非零矩阵，故r(A)≥1；又r(A)=r(αβ^T)≤r(α)=1，所以r(A)=1．
因为4－r(0E－A)=4－r(A)=3，所以A的线性无关的特征向量是3个，选C．

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