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设A=. (1)证明:当n≥3时,有An=An一2+A2一E; (2)求A100.
设A=. (1)证明:当n≥3时,有An=An一2+A2一E; (2)求A100.
admin
2021-11-09
68
问题
设A=
.
(1)证明:当n≥3时,有A
n
=A
n一2
+A
2
一E;
(2)求A
100
.
选项
答案
(1)用归纳法. n=3时,因A
2
=[*],验证得A
2
=A+A
2
一E,上式成立. 假设n=k一1(n≥3)时成立,即A
k一1
=A
k一3
+A
2
—E成立,则 A
k
=A.A
k一1
=A(A
k一3
+A
2
一E)=A
k一2
+A
3
一A =A
k一2
+(A+A
2
一E)一A=A
k一2
+A
2
一E, 即n=k时成立.故A
n
=A
n一2
+A
2
一E对任意n(n≥3)成立. (2)由上述递推关系可得 A
100
=A
98
+A
2
一E=(A
96
+A
2
一E)+A
2
一E =A
96
+2(A
2
一E)=…=A
2
+49(A
2
一E) =[*].
解析
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考研数学二
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