从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度y(从海平面算起)与下沉速度v之间的函数关系。设仪器在重力作用下，从海平面由静止开始铅直下沉，在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用。设仪器的质量为m，体积为B，海水比重为ρ，仪器所受的阻力与下沉速

admin2018-12-19 83

问题从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度y(从海平面算起)与下沉速度v之间的函数关系。设仪器在重力作用下，从海平面由静止开始铅直下沉，在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用。设仪器的质量为m，体积为B，海水比重为ρ，仪器所受的阻力与下沉速度成正比，比例系数为k(k＞0)。试建立y与v所满足的微分方程，并求出函数关系式y=y(v)。

选项

答案选取沉放点为原点O，Oy轴正向取铅直向下，则根据牛顿第二定律得 [*] 这是一个可降阶的二阶微分方程，其中[*]。由[*]，得[*]，因此原方程可化为 [*] 分离变量得 [*] 积分得 [*] 结合初始条件v｜_y=0=0，得 [*] 因此所求的函数关系为 [*]

解析

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考研数学二

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考研数学二

设奇函数f(x)在[一1，1]上具有二阶导数，且f(1)=1，证明：存在η∈(一1，1)，使得f’’(η)+f’(η)=1．

微分方程y’+ytanx=cosx的通解y=____________．

设曲线y=ax2(x≥0，常数a＞0)与曲线y=1一x2交于点A，过坐标原点O和点A的直线与曲线y=ax2围成一平面图形D，求(1)D绕x轴旋转一周所成的旋转体的体积V(a);(2)a的值，使V(a)为最大．

设函数设数列{x0}满足，证明存在，并求此极限．

计算积分x2y2dxdy，其中D是由直线y=2，y=0，x=－2及曲线x=－所围成的区域．

(2007年)设函数f(χ，y)连续，则二次积分f(χ，y)dy等于【】

(2012年)设函数f(χ，y)可微，且对任意χ，y都有，则使不等式f(χ，y)＜f(χ，y)成立的一个充分条件是【】

(1996年)求微分方程y〞＋y′＝χ2的通解．

已知f(x)是周期为5的连续函数，它在x=0的某邻域内满足关系式：f(1+sinx)一3f(1一sinx)=8x+α(x)，其中α(x)是当x→0时比x高阶的无穷小，且f(x)在x=1处可导，求y=f(x)在点(6，f(6))处的切线方程．

(1)设f(x)是以T为周期的连续函数，试证明：∫0xf(t)dt可以表示为一个以T为周期的函数φ(x)与kx之和，并求出此常数k；(2)求(1)中的∫0x(t)dt；(3)以[x]表示不超过x的最大整数，g(x)=x一[x]，求∫0x

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