设向量α=(a1，a2，…，an)T，β=(b1，b2，…，bn)T都是非零向量，且满足条件αTB＝0，记n阶矩阵A＝αβT，求： (I)A2； (II)矩阵A的特征值和特征向量．

admin2012-05-15 128

问题设向量α=(a₁，a₂，…，a_n)^T，β=(b₁，b₂，…，b_n)^T都是非零向量，且满足条件α^TB＝0，记n阶矩阵A＝αβ^T，求：
(I)A²；
(II)矩阵A的特征值和特征向量．

选项

答案(I)由题设，α，β都是非零向量，且α^Tβ＝0，则β^Tα=0，则A²＝(αβ^T)(αβ^T)＝(β^Tα)αβ^T＝0，即A²为零矩阵． (Ⅱ)由特征值与特征向量的定义，设λ为A的特征值，x为其相应的特征向量，则Ax＝λx，x≠0，由前述知A²=0，从而0＝AAx＝λAx＝λ²x，即λ＝0，所以A的所有特征值都为0． [*]

解析

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考研数学三

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