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设向量α=(a1,a2,…,an)T,β=(b1,b2,…,bn)T都是非零向量,且满足条件αTB=0,记n阶矩阵A=αβT,求: (I)A2; (II)矩阵A的特征值和特征向量.
设向量α=(a1,a2,…,an)T,β=(b1,b2,…,bn)T都是非零向量,且满足条件αTB=0,记n阶矩阵A=αβT,求: (I)A2; (II)矩阵A的特征值和特征向量.
admin
2012-05-15
128
问题
设向量α=(a
1
,a
2
,…,a
n
)
T
,β=(b
1
,b
2
,…,b
n
)
T
都是非零向量,且满足条件α
T
B=0,记n阶矩阵A=αβ
T
,求:
(I)A
2
;
(II)矩阵A的特征值和特征向量.
选项
答案
(I)由题设,α,β都是非零向量,且α
T
β=0,则β
T
α=0,则A
2
=(αβ
T
)(αβ
T
)=(β
T
α)αβ
T
=0,即A
2
为零矩阵. (Ⅱ)由特征值与特征向量的定义,设λ为A的特征值,x为其相应的特征向量,则Ax=λx,x≠0,由前述知A
2
=0,从而0=AAx=λAx=λ
2
x,即λ=0,所以A的所有特征值都为0. [*]
解析
转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/PfF4777K
0
考研数学三
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