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  3. 设对任意分片光滑的有向闭合曲面片S，均有其中f(x)在(一∞，+∞)内具有连续的二阶导数。求f(x)。

设对任意分片光滑的有向闭合曲面片S，均有其中f(x)在(一∞，+∞)内具有连续的二阶导数。求f(x)。

admin2019-11-05  44
问题 设对任意分片光滑的有向闭合曲面片S，均有其中f(x)在(一∞，+∞)内具有连续的二阶导数。求f(x)。
选项
答案令p(x，y)＝(y+1)f’(x)，Q(x，y)＝(y－y2)f(x)，R(x，y)＝zyf’(x)－2zex，由于f(x)在(一∞，+∞)内具有连续的二阶导数，故P(x，y)，Q(x，y)，R(x，y)均具有一阶连续偏导，由高斯公式可知， [*] 其中，Ω是由闭合曲面S所围成的区域，由区域Ω的任意性可知，(y＋1)f”(x)＋(1－2y)f(x)＋yf’(x)－2ex＝0， 即 y[f”(x)＋f’(x)－2f(x)]＋[f”(x)＋f(x)－2ex]＝0， 则有f”(x)＋f’(x)－2f(x)＝0， ① f”(x)＋f(x)－2ex＝0 ② 求解微分方程①，得f(x)＝C1ex+C2e－2x，则该通解同样满足微分方程②，代入可得C1＝1，C2＝0，故f(x)＝ex。
解析
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考研数学一

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