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[2015年] 设向量组α1,α2,α3是三维向量空间R3的一个基,β1=2α1+2kα3,β2=2α2,β3=α1+(k+1)α3. 当k为何值时,存在非零向量ξ在基α1,α2,α3与基β1,β2,β3下的坐标相同,并求所有的ξ.
[2015年] 设向量组α1,α2,α3是三维向量空间R3的一个基,β1=2α1+2kα3,β2=2α2,β3=α1+(k+1)α3. 当k为何值时,存在非零向量ξ在基α1,α2,α3与基β1,β2,β3下的坐标相同,并求所有的ξ.
admin
2019-04-08
119
问题
[2015年] 设向量组α
1
,α
2
,α
3
是三维向量空间R
3
的一个基,β
1
=2α
1
+2kα
3
,β
2
=2α
2
,β
3
=α
1
+(k+1)α
3
.
当k为何值时,存在非零向量ξ在基α
1
,α
2
,α
3
与基β
1
,β
2
,β
3
下的坐标相同,并求所有的ξ.
选项
答案
设[*],则P为从基α
1
,α
2
,α
3
到另一个基β
1
,β
2
,β
3
的过渡矩阵,即 [β
1
,β
2
,β
3
]=[α
1
,α
2
,α
3
]P. 设ξ在基α
1
,α
2
,α
3
下的坐标为(x
1
,x
2
,x
3
),在基β
1
,β
2
,β
3
下的坐标为(y
1
,y
2
,y
3
).由式得到 [y
1
,y
2
,y
3
]=[x
1
,x
2
,x
3
](P
-1
)
T
. ① 由题设[y
1
,y
2
,y
3
]=[x
1
,x
2
,x
3
],则由式①得到 [x
1
,x
2
,x
3
]=[x
1
,x
2
,x
3
](P
-1
)
T
, 两边取转量得到 [*],即[*] 令X=(x
1
,x
2
,x
3
)
T
,则PX=X,即(P—E)X=0. 下面解方程组②,为要其有非零解,必有 [*],即k=0. 这时方程组②化为[*].由基础解系的简便求法即得该方程组的一个基础解系为[一1,0,1]
T
.因而该方程组的通解为[x
1
,x
2
,x
3
]
T
=c[-1,0,1]
T
,其中c为任意常数. 即x
1
=一c,x
2
=0,x
3
=c,从而所求的所有向量为ξ=x
1
α
1
+x
2
α
2
+x
3
α
1
=一cα
1
+cα
3
,其中c为任意常数.
解析
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考研数学一
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