已知A是n阶矩阵，α1，α2，…，αs是n维线性无关向量组，若Aα1，Aα2，…，Aαs线性相关，证明：A不可逆．

admin2018-08-22 38

问题已知A是n阶矩阵，α₁，α₂，…，α_s是n维线性无关向量组，若Aα₁，Aα₂，…，Aα_s线性相关，证明：A不可逆．

选项

答案因Aα₁，Aα₂，…，Aα_s线性相关，故存在不全为零的数k₁，k₂，…，k_s，使得 k₁Aα₁+k₂Aα₂+…+k_sAα_s=0，即 A(k₁α₁+k₂α₂+…+k_sα_s)=Aξ=0，其中ξ=k₁α₁+k₂α₂+…+k_sα_s，因已知α₁，α₂，…，α_s线性无关，对任意不全为零的数k₁，k₂，…，k_s，有 ξ=k₁α₁+k₂α₂+…+k_sα_s≠0 而 Aξ=0．说明线性方程组AX=0有非零解，从而|A|=0，即A是不可逆矩阵．

解析

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