已知α1，α2，α3是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系，证明α1+α2，α2+α3，α1+α3也是该方程组的一个基础解系．

admin2016-05-31 54

问题已知α₁，α₂，α₃是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系，证明α₁+α₂，α₂+α₃，α₁+α₃也是该方程组的一个基础解系．

选项

答案由A(α₁+α₂)=Aα₁+Aα₂=0+0=0知，α₁+α₂是齐次方程组Ax=0的解．同理可知α₂+α₃，α₁+α₃也是Ax=0的解．设k₁(α₁+α₂)+k₂(α₂+α₃)+k₃(α₁+α₃)=0，即 (k₁+k₃)α₁+(k₁+k₂)α₂+(k₂+k₃)α₃=0，因为α₁，α₂，α₃是基础解系，它们是线性无关的，故 [*] 由于此方程组系数行列式D=[*]=2≠0，故必有k₁=k₂=k₃=0，所以α₁+α₂，α₂+α₃， α₁+α₃线性无关．根据题设，Ax=0的基础解系含有3个线性无关的向量，所以α₁+α₂，α₂+α₃，α₁+α₃是方程组Ax=0的一组基础解系．

解析

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考研数学三

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已知α1，α2，α3是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系，证明α1+α2，α2+α3，α1+α3也是该方程组的一个基础解系．

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