2. 考研
  3. (98年)设函数f(χ)在[1，＋∞)上连续，若由曲线y＝f(χ)，直线χ＝1，χ＝t(t＞1)与χ轴所围成的平面图形绕χ轴旋转一周所形成的旋转体体积为 V(t)＝[t2f(t)－f(1)] 试求f(χ)所满足的微分方程，并求该微分方程满足

(98年)设函数f(χ)在[1，＋∞)上连续，若由曲线y＝f(χ)，直线χ＝1，χ＝t(t＞1)与χ轴所围成的平面图形绕χ轴旋转一周所形成的旋转体体积为 V(t)＝[t2f(t)－f(1)] 试求f(χ)所满足的微分方程，并求该微分方程满足

admin2017-05-26  98
问题 (98年)设函数f(χ)在[1，＋∞)上连续，若由曲线y＝f(χ)，直线χ＝1，χ＝t(t＞1)与χ轴所围成的平面图形绕χ轴旋转一周所形成的旋转体体积为
    V(t)＝[t2f(t)－f(1)]
    试求f(χ)所满足的微分方程，并求该微分方程满足条件的解．
选项
答案V(t)＝π∫1tf2(χ)dχ＝[*][t2f(t)－f(1)] 即3∫1tf2(χ)dχ＝t2f(t)－f(1) 两边对t求导得 3f2(t)＝2tf(t)＋t2f′(t) 将上式改写为χ2y′＝3y2－2χy 即[*] 令[*]＝u，则有 [*] 两边积分得[*] 从而有y－χ＝cχ3y 由已知条件求得c＝－1，从而所求的解为y－χ＝－χ3y
解析
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考研数学三

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