(98年)设函数f(χ)在[1，＋∞)上连续，若由曲线y＝f(χ)，直线χ＝1，χ＝t(t＞1)与χ轴所围成的平面图形绕χ轴旋转一周所形成的旋转体体积为 V(t)＝[t2f(t)－f(1)] 试求f(χ)所满足的微分方程，并求该微分方程满足

admin2017-05-26 63

问题 (98年)设函数f(χ)在[1，＋∞)上连续，若由曲线y＝f(χ)，直线χ＝1，χ＝t(t＞1)与χ轴所围成的平面图形绕χ轴旋转一周所形成的旋转体体积为
V(t)＝

[t²f(t)－f(1)]
试求f(χ)所满足的微分方程，并求该微分方程满足条件

的解．

选项

答案V(t)＝π∫₁^tf²(χ)dχ＝[*][t²f(t)－f(1)] 即3∫₁^tf²(χ)dχ＝t²f(t)－f(1) 两边对t求导得 3f²(t)＝2tf(t)＋t²f′(t) 将上式改写为χ²y′＝3y²－2χy 即[*] 令[*]＝u，则有 [*] 两边积分得[*] 从而有y－χ＝cχ³y 由已知条件求得c＝－1，从而所求的解为y－χ＝－χ³y

解析

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考研数学三

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(98年)设函数f(χ)在[1，＋∞)上连续，若由曲线y＝f(χ)，直线χ＝1，χ＝t(t＞1)与χ轴所围成的平面图形绕χ轴旋转一周所形成的旋转体体积为 V(t)＝[t2f(t)－f(1)] 试求f(χ)所满足的微分方程，并求该微分方程满足

考研数学三

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