已知3阶矩阵A与3维列向量x，使x，Ax，A2x线性无关，且满足A3x=3Ax-2A2x，令P=(x，Ax，A2x)．求3阶矩阵B，使A=PBP-1；

admin2021-02-25 74

问题已知3阶矩阵A与3维列向量x，使x，Ax，A²x线性无关，且满足A³x=3Ax-2A²x，令P=(x，Ax，A²x)．
求3阶矩阵B，使A=PBP^-1；

选项

答案设[*]，则由AP=PB得 [*] 上式可写为 Ax=a₁x+b₁Ax+c₁A²x， (1) A²x=a₂x+b₂Ax+c₂A²x， (2) A³x=a₃x+b₃Ax+c₃A²x． (3) 将A³x=3Ax-2A²x代入(3)式得 3Ax-2A²x=a₃x+b₃Ax+c₃A²x． (4) 整理得 [*] 由于x，Ax，A²x线性无关，故 a₁=c₁=0，b₁=1； a₂=b₂=0，c₂=1； a₃=0，b₃=3，c₃=-2．从而 [*]

解析本题是向量与矩阵的综合题，主要考查向量组的线性相关性．

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