设fn(x)=x+x2+…+xn，n=2，3，…．证明方程fn(x)=1在[0，+∞)上有唯一实根xn；

admin2018-08-22 69

问题设f_n(x)=x+x²+…+xⁿ，n=2，3，…．
证明方程f_n(x)=1在[0，+∞)上有唯一实根x_n；

选项

答案f_n(x)连续，且f_n(0)=0，f_n(1)=n＞1，由介值定理可得，存在x_n∈(0，1)，使f_n(x_n)=1，n=2，3，…，又x＞0时，f’_n(x)=1+2x+…+nx^n-1＞0，故f_n(x)严格单调递增，因此x_n是f_n(x)一1在[0，+∞)内的唯一实根．

解析

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考研数学二

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