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  3. [2004年] 某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地瞬间，飞机尾部张开降落伞以增大阻力使飞机迅速减速并停下． 现有一质量为9000 kg的飞机，着陆时的水平速度为700 km／h．经测试，减速伞打开后飞机所受的阻力与飞机的速度成正比(比例

[2004年] 某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地瞬间，飞机尾部张开降落伞以增大阻力使飞机迅速减速并停下． 现有一质量为9000 kg的飞机，着陆时的水平速度为700 km／h．经测试，减速伞打开后飞机所受的阻力与飞机的速度成正比(比例

admin2019-05-10  99
问题 [2004年]  某种飞机在机场降落时，为了减少滑行距离，在触地瞬间，飞机尾部张开降落伞以增大阻力使飞机迅速减速并停下．
   现有一质量为9000 kg的飞机，着陆时的水平速度为700 km／h．经测试，减速伞打开后飞机所受的阻力与飞机的速度成正比(比例系数k=6．0×106)．问从着陆点算起，飞机滑行的最大距离是多少?(注：kg表示千克，km／h表示千米／小时．)
选项
答案 利用牛顿第二定律建立微分方程求解．对飞机滑行的最长距离有下面三种理解，从而得到三种不同的求法． 解一 由题设知，飞机的质量为m=9000 kg，着陆时的水平速度v0=700 km／h，从飞机接触跑道开始记时，设t时刻飞机的滑行距离为x(t)，速度为v(t)． 一种理解是求飞机的最长距离就是求v(t)→0的距离，因而应求出x(t)与v(t)的关系式．根据牛顿第二定律，有 [*] 由式①、式②得dx=(一m／k)dv，积分得到x(t)=(一m／k)v+C．由于v(0)=v0，x(0)=0， 故C=mv0／k，从而x(t)=m[v0一v(t)]／k，令t→+∞，由[*]v(t)=0，即得 [*]x(t)=mv0／k=(9000×700)／(6×106)=1．05(km)， 亦即飞机滑行的最长距离为1．05 km． 解二 第二种理解是飞机滑行的最长距离为t→+∞时的距离，为此应求出x(t)与t的关系式．由牛顿第二定律得到 [*] 其特征方程为r2+(k／m)r=0．其特征根为r1=0，r2=一k／m，故x(t)=C1+C2e-kt/m．由 x(t)∣t=0=0，v(t)∣t=0=[*]=v0，得C1=一C2=mv0／k． 于是 x(t)=mv0(1一ekt/m)／k， ③ 则当t→+∞时，x(t)→mv0／k=1．05(km)，即飞机滑行的最长距离为1．05 km．
解析
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考研数学二

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