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设f(x)在(a，b)内二阶可导，且0＜x1＜x2＜b． (I)若x∈(a，b)时f"(x)＞0，则 对任何x∈(x1，x2)成立；
设f(x)在(a，b)内二阶可导，且0＜x1＜x2＜b． (I)若x∈(a，b)时f"(x)＞0，则 对任何x∈(x1，x2)成立；
admin
2019-02-20
45
问题
设f(x)在(a，b)内二阶可导，且0＜x
1
＜x
2
＜b．
(I)若x∈(a，b)时f"(x)＞0，则
对任何x∈(x
1
，x
2
)成立；
选项
答案
【证法一】 有 (x
2
－x)[f(x)－f(x
1
)]＜(x－x
1
)[f(x
2
)－f(x)]， 由拉格朗日中值定理知 (x
2
－x)[f(x)－f(x
1
)]=(x
2
－x)(x－x
1
)f’(ξ
1
)，x
1
＜ξ
1
＜x， (x－x
1
)[f(x
2
)－f(x)]=(x－x
1
)(x
2
－x)f’(ξ
2
)，x＜ξ
2
＜x
2
． 由f"(x)＞0知f’(x)单调增加，故f’(ξ
1
)＜f’(ξ
2
)，由此即知等价不等式成立，从而(I)成立． 【证法二】 引进辅助函数 [*] 则 [*] 故F(x)的图形在[x
1
，x
2
][*](a，b)上为凹的．由F(x
1
)=F(x
2
)=0可知F(x)＜0，从而不等式成立．
解析
转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/OTP4777K
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考研数学三
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