2. 考研
  3. 设函数φ(y)具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L上，曲线积分的值恒为同一常数。 (Ⅰ)证明对右半平面x＞0内的任意分段光滑简单闭曲线C，有 (Ⅱ)求函数φ(y)的表达式。

设函数φ(y)具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L上，曲线积分的值恒为同一常数。 (Ⅰ)证明对右半平面x＞0内的任意分段光滑简单闭曲线C，有 (Ⅱ)求函数φ(y)的表达式。

admin2017-01-14  54
问题 设函数φ(y)具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L上，曲线积分的值恒为同一常数。
(Ⅰ)证明对右半平面x＞0内的任意分段光滑简单闭曲线C，有
(Ⅱ)求函数φ(y)的表达式。
选项
答案(Ⅰ)如图1-6-12所示，将C分解为：C=l1+l2，另作一条曲线l3围绕原点且与C相接，根据题设条件则有 [*] (Ⅱ)设P=[*]，P，Q在单连通区域x＞0内，具有一阶连续偏导数。由(Ⅰ)知，曲线积分[*]在该区域内与路径无关，故当x＞0时，总有 [*] 比较(1)、(2)两式的右端，得 [*] 由(3)得φ(y)=-y2+C，将q(y)代入(4)得2y5-4Cy3=2y5，所以C=0，从而φ(y)=-y2。
解析
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考研数学一

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