2. 考研
  3. 设A，B为三阶矩阵，且AB＝A－B，若λ1，λ2，λ3为A的三个不同的特征值，证明： (1)AB＝BA； (2)存在可逆矩阵P，使得P－1AP，P－1BP同时为对角矩阵．

设A，B为三阶矩阵，且AB＝A－B，若λ1，λ2，λ3为A的三个不同的特征值，证明： (1)AB＝BA； (2)存在可逆矩阵P，使得P－1AP，P－1BP同时为对角矩阵．

admin2018-01-23  59
问题 设A，B为三阶矩阵，且AB＝A－B，若λ1，λ2，λ3为A的三个不同的特征值，证明：
(1)AB＝BA；
(2)存在可逆矩阵P，使得P－1AP，P－1BP同时为对角矩阵．
选项
答案(1)由AB＝A－B；得A－B－AB＋E＝E，(E＋A)(E－B)＝E， 即E－B与E＋A互为逆矩阵，于是(E－B)(E－A)＝E＝(E＋A)(E－B)， 故AB＝BA． (2)因为A有三个不同的特征值λ1，λ2，λ3，所以A可以对角化，设A的三个线性无关的特征 向量为ξ1，ξ2，ξ3，则有A(ξ1，ξ2，ξ3)＝(ξ1，ξ2， ξ3)diag(λ1，λ2，λ3)， BA(ξ1，ξ2，ξ3)＝B(ξ1，ξ2，ξ3)diag(λ1，λ2，λ3)， AB(ξ1，ξ2，ξ3)＝B(ξ1，ξ2，ξ3)diag(λ1，λ2，λ3)，于是有 ABξi＝λBξi，i＝1，2，3． 若Bξi≠0，则Bξi是A的属于特征值λi的特征向量，又λi为单根，所以有Bξi＝μiξi； 若Bξi＝0，则ξi是B的属于特征值0的特征向量．无论哪种情况，B都可以对角化，而且ξi 是B的特征向量，因此，令P＝(ξ1，ξ2，ξ3)，则P－1AP，P－1BP同为对角阵．
解析
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考研数学三

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