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  3. 交换下列积分的积分顺序：

交换下列积分的积分顺序：

admin2017-10-23  81
问题 交换下列积分的积分顺序：
选项
答案(Ⅰ)先对x积分，就是从区域D的左侧边界x=y2到右侧边界x=y+2．两边界线的交点为(1，一1)与(4，2)，所以区域D又可表示为(如图4．22)． D={(x，y)｜一1≤y≤2，y2≤x≤y+2}， [*] (Ⅱ)由题中的累次积分的积分限知，积分区域D的图形如图4．23， 它的上侧边界由抛物线y=x2与圆x2+y2=2构成，二者的分界点为(1，1)，而D的下侧边界是x轴，D中最左点的横坐标是x=0，最右点的横坐标是[*]．从而D的另一形式的不等式组表示是 D={(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤x2}∪{(x，y)｜1≤x≤[*]一x2}， 所以改变积分顺序时需分块进行积分，即 [*]
解析 在第(Ⅰ)小题中，累次积分的表示式表明：积分区域D由两部分构成，当0≤x≤1时，区域D的下侧边界为y=一；当1≤x≤4时，D的下侧边界为y=x一2，上侧边界为y=，即
    D={(x，y)｜0≤x≤1，一}．
其图形为图4．22所示，改变积分顺序，先对x求积分，就要把区域D的边界表示成y的函数，即D的左侧边界为x=y2，右侧边界为x=y+2，最后再求出x=y2与x=y+2的两个交点的纵坐标y=一1和y=2，即可将区域D表示为
    D={(x，y)｜—1≤y≤2，y2≤x≤y+2}，
由此不难写出新的累次积分．第(Ⅱ)小题可作类似分析．重要的是画出区域的图形，正确表示积分区域的边界，正确表示积分的上、下限．
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考研数学三

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