假设父母和一个孩子之间进行如下博弈，孩子采取行动A，给孩子带来收入为IC(A)，给父母带来收入为Ip(A)，其中IC(A)可视作扣除行动A成本的净收入。父母观察到收入IC和Ip后，选择留给孩子遗产收入B，此时孩子的效用为U(IC+B)，父母的效用为V(IC

admin2019-09-09 47

问题假设父母和一个孩子之间进行如下博弈，孩子采取行动A，给孩子带来收入为I_C(A)，给父母带来收入为I_p(A)，其中I_C(A)可视作扣除行动A成本的净收入。父母观察到收入I_C和I_p后，选择留给孩子遗产收入B，此时孩子的效用为U(I_C+B)，父母的效用为V(I_C－B)+kU(I_C+B)，k＞0，k表示父母对孩子的关心程度。假设A≥0，收入函数I_C(A)和I_p(A)是严格凹的，且分别在A_C＞0，A_p＞0时取得最大值。遗产可以为正，也可以为负，效用函数U，V都是递增的严格凹的函数。证明：在子博弈完美均衡中，孩子选择的行动将使家庭收入I_C(A)+I_p(A)最大化。(2016年复旦大学856经济学综合基础)

选项

答案假设家庭收入为I，即I=I_c+I_p。那么家庭收入最大化的一阶条件为 I’(A)=I’_c(A)+I’_p(A)=0 (1) 因为父母是在孩子作出行动A后，按照自身目标函数的最大化决定行动B的数值。可以参照价格领导模型，先写出父母对孩子决策的反应函数，再将反应函数代入孩子的最大化决策中，来确定孩子的最大化抉择。由题意可得，父母的目标函数为 max{V(I_p－B)+kU(I_c+B)) (2) 对目标函数求关于B的一阶导数，由此可以得到父母对孩子决策A的反应函数－V’(I_p－B)+kU’(I_c+B)=0 (3) 从而孩子的目标函数为 maxU(I_c+B) (4) 则孩子的最大化决策为 [*] 将(3)式对A求导，可得 [*] 代入(5)得 [*] 可以看出与家庭收入最大化一阶条件相符，故原命题得证，即孩子的决策和家庭总收入最大化相一致。

解析

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