2. 考研
  3. 设f(x)在[a，b]上连续，且f″(x)＞0，对任意的x1，x2∈[a，b]及0＜λ＜1，证明： f[λx1+(1-λ)x2]≤λf(x1)+(1-λ)f(x2).

设f(x)在[a，b]上连续，且f″(x)＞0，对任意的x1，x2∈[a，b]及0＜λ＜1，证明： f[λx1+(1-λ)x2]≤λf(x1)+(1-λ)f(x2).

admin2022-08-19  99
问题 设f(x)在[a，b]上连续，且f″(x)＞0，对任意的x1，x2∈[a，b]及0＜λ＜1，证明：
f[λx1+(1-λ)x2]≤λf(x1)+(1-λ)f(x2).
选项
答案令x0=λx1+(1-λ)x2，则x0∈[a，b]，由泰勒公式得 f(x)=f(x0)+f′(x0)(x-x0)+[f″(ξ)/2](x-x0)2，其中ξ介于x0与x之间， 因为f″(x)＞0，所以f(x)≥f(x0)+f′(x0)(x-x0)， 于是[*] 两式相加，得f[λx1+(1-λ)x2]≤λf(x1)+(1-λ)f(x2).
解析
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考研数学三

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