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  3. 设函数f在区间I上连续，证明： 若对任何有理数r∈I有f(r)=0，则在I上f(x)≡0；

设函数f在区间I上连续，证明： 若对任何有理数r∈I有f(r)=0，则在I上f(x)≡0；

admin2022-10-31  66
问题 设函数f在区间I上连续，证明：
若对任何有理数r∈I有f(r)=0，则在I上f(x)≡0；
选项
答案设x0为I中的任一无理数，由有理数的稠密性知，存在有理数列{rn}[*]I，使rn→x0(n→∞)．由f的连续性得[*]f(rn)=f(x0)，又∵f(rn)=0(n=1，2，…)．∴f(x0)=0．当r∈I为有理数时，f(x)也为0．于是，在I上f(x)≡0．
解析
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考研数学三

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