2. 考研
  3. 已知矩阵A＝，设3阶矩阵B＝(α1，α2，α3)满足B2＝BA．记B100＝(β1，β2，β3)，将β1，β2，β3分别表示为α1，α2，α3的线性组合．

已知矩阵A＝，设3阶矩阵B＝(α1，α2，α3)满足B2＝BA．记B100＝(β1，β2，β3)，将β1，β2，β3分别表示为α1，α2，α3的线性组合．

admin2020-06-05  23
问题 已知矩阵A＝，设3阶矩阵B＝(α1，α2，α3)满足B2＝BA．记B100＝(β1，β2，β3)，将β1，β2，β3分别表示为α1，α2，α3的线性组合．
选项
答案因为矩阵A的特征多项式为 ｜A－λE｜＝[*] ＝﹣λ(λ＋1)(λ＋2) 所以A的特征值为λ1＝0，λ2＝﹣1，λ3＝﹣2． 当λ1＝0时，解方程(A－0E)x＝0．由 A－0E＝[*] 得基础解系p1＝(3，2，2)T，矩阵A的属于特征值λ1＝0的特征向量为c1p1(c1≠0)． 当λ2＝﹣1时，解方程(A＋E)x＝0．由 A＋E＝[*] 得基础解系p2＝(1，1，0)T，矩阵A的属于特征值λ2＝﹣1的特征向量为c2p2(c2≠0)． 当λ3＝﹣2时，解方程(A＋E)x＝0．由 A＋2E＝[*] 得基础解系p2＝(1，2，0)T，矩阵A的属于特征值λ3＝﹣1的特征向量为c3p3(c3≠0)． 令P＝(p1，p2，p3)，则P﹣1AP＝[*] ＝diag(0，﹣1，﹣2)，进而 A＝P[*]P﹣1，Am＝P[*]mP﹣1＝Pdiag(0，(﹣1)m，(﹣2)m)P﹣1 又由已知条件可得 (β1，β2，β3)＝B100＝B98B2＝B98(BA)＝B99A＝B97B2A ＝B97(BA)A＝B98A2＝…＝BA99 即 (β1，β2，β3)＝(α1，α2，α3)A99 而 A99 [*] 因此 β1＝(299－2)α1＋(2100－2)α2，β2＝(1－299)α1＋(1－2100)α2 β3＝(2－299)α1＋(2－2100)α2
解析
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考研数学一

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