2. 考研
  3. 设f(x)具有二阶连续导数，f(0)=0，f’(0)=1，且[xy(x+y)-f(x)y]dx+[f’(x)+x2y]dy=0为一全微分方程，求f(x)及此全微分方程的通解．

设f(x)具有二阶连续导数，f(0)=0，f’(0)=1，且[xy(x+y)-f(x)y]dx+[f’(x)+x2y]dy=0为一全微分方程，求f(x)及此全微分方程的通解．

admin2022-07-21  122
问题 设f(x)具有二阶连续导数，f(0)=0，f’(0)=1，且[xy(x+y)-f(x)y]dx+[f’(x)+x2y]dy=0为一全微分方程，求f(x)及此全微分方程的通解．
选项
答案(1)由全微分方程的充要条件得，f(x)满足 [*] 即f’’(x)+f(x)=x2，解得 f(x)=C1cosx+C2sinx+x2-2 再由f(0)=0，f’(0)=1可得C1=2，C2=1．从而 f(x)=2cosx+sinx+x2-2 (2)将f(x)的表达式代入原方程中，得 [xy2-(2cosx+sinx)y+2y]dx+(-2sinx+cosx+2x+x2y)dy=0 由积分法得 u(x，y)=∫(0，0)(x，y)[xy2-(2cosx+sinx)y+2y]dx+(-2sinx+cosx+2x+x2y)dy =∫0y(-2sinx+cosx+2x+x2y)dy =-2ysinx+ycosx+2xy+[*]x2y2 所以原方程的通解为-2ysinx+ycosx+2xy+[*]x2y2=C．
解析
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考研数学二

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