2. 考研
  3. 设A为三阶矩阵，且有三个互异的正的特征值，设矩阵B=(A*)2-4E的特征值为0，5，32．求A-1的特征值并判断A-1是否可对角化．

设A为三阶矩阵，且有三个互异的正的特征值，设矩阵B=(A*)2-4E的特征值为0，5，32．求A-1的特征值并判断A-1是否可对角化．

admin2022-04-07  67
问题 设A为三阶矩阵，且有三个互异的正的特征值，设矩阵B=(A*)2-4E的特征值为0，5，32．求A-1的特征值并判断A-1是否可对角化．
选项
答案设A的三个特征值为λ1，λ2，λ3，因为B=(A*)2-4E的三个特征值为0，5，32，所以(A*)2的三个特征值为4，9，36，于是A*的三个特征值为2，3，6． 又因为|A*|=36=|A|3-1，所以|A|=6． 由|A|/λ1=2，|A|/λ2=3，|A|/λ3=6，得λ1=3，λ2=2，λ3=1， 由于一对逆矩阵的特征值互为倒数，所以A-1的特征值为1，1/2,1/3． 因为A-1的特征值都是单值，所以A-1可以相似对角化．
解析
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考研数学三

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