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  3. 设f(x)为连续函数，F(x)是f(x)的一个原函数，则下列命题错误的是( )．

设f(x)为连续函数，F(x)是f(x)的一个原函数，则下列命题错误的是( )．

admin2019-06-11  73
问题 设f(x)为连续函数，F(x)是f(x)的一个原函数，则下列命题错误的是(    )．
选项 A、若F(x)为奇函数，则f(x)比定为偶函数
B、若f(x)为奇函数，则F(x)必定为偶函数
C、若f(x)为偶函数，则F(x)必定为奇函数
D、若F(x)为偶函数，则f(x)必定为奇函数
答案C
解析 对于A，因为F(x)为f(x)的一个原函数，因此F’(x)=f(x)．
若F(x)为奇函数，即F(－x)=－F(x)，两端关于x求导，可得
－F’(－x)=－F’(x)，
即
F’(－x)=F’(x)．
从而知f(－x)=f(x)，即f(x)为偶函数，可知A正确．
对于B，由于F(x)是f(x)的一个原函数，可知
F(x)=∫0xf(t)dt+C0，
则
F(－x)=∫0－xf(t)dt+C0，
令u=－t，则
F(－x)=∫0xf(－u)．(－1)du+C0，
当f(x)为奇函数时，有
f(－u)=－f(u)．
从而有
F(－x)=∫0xf(u)du+C0=F(x)，
即F(x)为偶函数，可知B正确．
对于C，取f(x)=x2，则f(x)为偶函数，又(x3+1)’=x2，则x3+1为f(x)=x2的一个原函数，但x3+1不是奇函数，可知C不正确．
对于D，若F(x)为偶函数，即F(－x)=F(x)，两端关于x求导，可得－F’(－x)=F’(x)，即－f(－x)=f(x)，可知f(x)为奇函数，因此D正确．故选C．
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本试题收录于： 经济类联考综合能力题库专业硕士分类
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