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设有一小山,取它的底面所在的平面为xOy坐标面,其底部所占的区域为D={(x,y)|x2+y2一xy≤75},小山的高度函数为h(x,y)=75一x2一y2+xy。 (Ⅰ)设M(x,y)为区域D上的一个点,问h(x,y),在该点沿平面上什么方向的方
设有一小山,取它的底面所在的平面为xOy坐标面,其底部所占的区域为D={(x,y)|x2+y2一xy≤75},小山的高度函数为h(x,y)=75一x2一y2+xy。 (Ⅰ)设M(x,y)为区域D上的一个点,问h(x,y),在该点沿平面上什么方向的方
admin
2018-05-25
114
问题
设有一小山,取它的底面所在的平面为xOy坐标面,其底部所占的区域为D={(x,y)|x
2
+y
2
一xy≤75},小山的高度函数为h(x,y)=75一x
2
一y
2
+xy。
(Ⅰ)设M(x,y)为区域D上的一个点,问h(x,y),在该点沿平面上什么方向的方向导数最大。若记此方向导数的最大值为g(x
0
,y
0
),试写出g(x
0
,y
0
)的表达式;
(Ⅱ)现欲利用此小山开展攀岩活动,为此需要在山脚寻找一上山坡度最大的点作为攀登的起点,也就是说,要在D的边界曲线x
2
+y
2
一xy=75上找出使(Ⅰ)中的g(x,y)达到最大值的点,试确定攀登起点的位置。
选项
答案
(Ⅰ)函数h(x,y)在点M处沿该点的梯度方向 [*]={一2x
0
+y
0
,一2y
0
+x
0
}。 方向导数的最大值是gradh(x,y)[*]的模,即 g(x
0
,y
0
)=[*]。 (Ⅱ)求g(x,y)在条件x
2
+y
2
一xy一75=0下的最大值点与求g
2
(x,y)=(y一2x)
2
+(x一2y)
2
=5x
2
+5y
2
一8xy在条件x
2
+y
2
一xy一75=0下的最大值点等价。这是求解条件最值问题,用拉格朗日乘数法。构造拉格朗日函数 L(x,y,λ)=5x
2
+5y
2
一8xy+λ(x
2
+y
2
一xy一75), 则有 [*] 联立(1),(2)解得y=一x,λ=一6或y=x,λ=一2。 若y=一x,则由(3)式得3x
2
=75,即x=±5,y=[*]5。 若y=x,则由(3)式得x
2
=75,即x=±[*]。 于是得可能的条件极值点 M
1
(5,一5),M
2
(一5,5),M[*]。 现比较f(x,y)=g
2
(x,y)=5x
2
+5y
2
—8xy在这些点的函数值,有 f(M
1
)=f(M
2
)=450,f(M
3
)=f(M
4
)=150。 因为实际问题存在最大值,而最大值又只可能在M
1
,M
2
,M
3
,M
4
中取到。所以g
2
(x,y)在M
1
,M
2
取得边界线D上的最大值,即M
1
,M
2
可作为攀登的起点。
解析
转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/Mmg4777K
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考研数学一
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