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  3. 设齐次线性方程组 其中a≠0，b≠0，n≥2．试讨论a，b为何值时，方程组仅有零解，有无穷多解?当有无穷多解时，求出其全部解，并用基础解系表示全部解．

设齐次线性方程组 其中a≠0，b≠0，n≥2．试讨论a，b为何值时，方程组仅有零解，有无穷多解?当有无穷多解时，求出其全部解，并用基础解系表示全部解．

admin2016-10-20  93
问题 设齐次线性方程组

其中a≠0，b≠0，n≥2．试讨论a，b为何值时，方程组仅有零解，有无穷多解?当有无穷多解时，求出其全部解，并用基础解系表示全部解．
选项
答案对系数矩阵作初等行变换，把第1行的-1倍分别加至第2行到第n行，有 [*] (Ⅰ)如果a=b，方程组的同解方程组是x1+x2+…+xn=0． 由于n-r(A)=n-1，取自由变量为x2，x3，…，xn，得到基础解系为： α1=(-1，1，0，…，0)T，α2=(-1，0，1，…，0)T，…，αn-1=(-1，0，0，…，1)T． 方程组通解是：k1α1+k2α2+…+kn-1αn-1，其中k1，k2，…，kn-1为任意常数． (Ⅱ)如果a≠b，对系数矩阵作初等行变换，有 [*] 若a≠(1-n)b，则秩r(A)=n，此时齐次方程组只有零解． 若a=(1-n)b，则秩r(A)=n-1．取x1为自由变量，则基础解系为α=(1，1，…，1)T，于是方程组的通解是：kα，其中k为任意常数．
解析
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考研数学三

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