2. 考研
  3. 设二次型f(x1，x2，…，xn)一XTAX，且|A|＜0． (Ⅰ)证明：存在n维向量ξ0，使得ξ0TAξ0＜0； (Ⅱ)设，求ξ0，使得ξ0TAξ0＜0．

设二次型f(x1，x2，…，xn)一XTAX，且|A|＜0． (Ⅰ)证明：存在n维向量ξ0，使得ξ0TAξ0＜0； (Ⅱ)设，求ξ0，使得ξ0TAξ0＜0．

admin2021-11-12  13
问题 设二次型f(x1，x2，…，xn)一XTAX，且|A|＜0．
(Ⅰ)证明：存在n维向量ξ0，使得ξ0TAξ0＜0；
(Ⅱ)设，求ξ0，使得ξ0TAξ0＜0．
选项
答案设A有特征值λi，i=1，2，…，n，则 [*] 可知A有奇数个特征值小于零．设λ0＜0，其对应的特征向量为ξ0，则有 Aξ0=λ0ξ0，其中ξ0≠0． 两边左乘ξ0T，得ξ0TAξ0=λ0ξ0Tξ0．因ξ0≠0，故有ξ0Tξ0＞0． 又λ0＜0，故ξ0TAξ0=λ0ξ0Tξ0＜0，得证存在n维向量ξ0，有 ξ0TAξ0＜0． (Ⅱ)由(Ⅰ)可知先求A的特征值． [*] =(λ+4)(λ2一7λ+12－2)=(λ+4)(λ－2)(λ－5)． 得A的负特征值λ0=一4． 由(λ0E－A)X=(－4E－A)X=0， [*]
解析
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考研数学一

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