已知非齐次线性方程组，有3个线性无关的解。证明方程组系数矩阵A的秩R(A)=2。

admin2019-03-23 79

问题已知非齐次线性方程组

，有3个线性无关的解。
证明方程组系数矩阵A的秩R(A)=2。

选项

答案设α₁，α₂，α₃是方程组Ax=β的3个线性无关的解，其中 [*] 则有A(α₁—α₂)=0，A(α₁—α₃)=0，即α₁—α₂，α₁—α₃是对应齐次线性方程组Ax=0的解，且线性无关。(否则，易推出α₁，α₂，α₃线性相关，与假设矛盾。) 所以有n—R(A)≥2，即4—R(A)≥2[*]R(A)≤2。又矩阵A中的一个2阶子式[*]—1≠0，所以R(A)≥2。因此R(A)=2。

解析

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考研数学二

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设α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βt线性无关，其中α1，α2，…，αs是齐次方程组AX=0的基础解系．证明Aβ1，Aβ2，…，Aβt线性无关．
证明：r(A)=r(ATA)．
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