设α是n维单位列向量，A=E一ααT．证明：r(A)＜n．

admin2016-10-24 51

问题设α是n维单位列向量，A=E一αα^T．证明：r(A)＜n．

选项

答案A²=(E一αα^T)(E一αα^T)=E一2αα^T+αα^T．αα^T，因为α为单位列向量，所以α^Tα=1，于是A²=A．由A(E一A)=0得r(A)+r(E一A)≤n，又由r(A)+r(E一A)≥r[A+(E—A)]=r(E)=n，得r(A)+r(E一A)=n．因为E一A=αα^T≠0，所以r(E一A) =r(αα^T)=r(α)=1，故r(A)=n一1＜n．

解析

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考研数学三

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