对于任意二事件A1，A2，考虑二随机变量试证明：随机变量X1和X2独立的充分必要条件是事件A1和A2相互独立．

admin2015-07-22 115

问题对于任意二事件A₁，A₂，考虑二随机变量

试证明：随机变量X₁和X₂独立的充分必要条件是事件A₁和A₂相互独立．

选项

答案记p_i=P(A_i)(i=1，2)，p₁₂=P(A₁ A₂)，而ρ是X₁和X₂的相关系数．易见，随机变量X₁和X₂都服从0～1分布，并且 P{X_i=1}=P(A_i)，P{X_i=0)=P(A_i)，P{X₁=1，X₂=1}=P(A₁A₂)． (1)必要性．设随机变量X₁和X₂独立，则 P(A₁ A₂)=P{X₁=1，X₂=1)=P{X₁=1)P{X₂=1)=P(A₁)P(A₂)．从而，事件A₁和A₂相互独立． (2)充分性．设事件A₁和A₂相互独立，则 [*] 也都独立，故 [*] 从而，随机变量X₁和X₂相互独立．

解析

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