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  3. 某市江滨有一处边长为50米的等边三角形广场。广场里设计有三个大小相等的圆环鹅卵石道路供市民散步，如图所示，各圆相切，各圆与三角形也相：切，问沿三个圆环外围石道(不含圆切点之间的弧)散步一圈约为多少米?

某市江滨有一处边长为50米的等边三角形广场。广场里设计有三个大小相等的圆环鹅卵石道路供市民散步，如图所示，各圆相切，各圆与三角形也相：切，问沿三个圆环外围石道(不含圆切点之间的弧)散步一圈约为多少米?

admin2022-03-27  59
问题 某市江滨有一处边长为50米的等边三角形广场。广场里设计有三个大小相等的圆环鹅卵石道路供市民散步，如图所示，各圆相切，各圆与三角形也相：切，问沿三个圆环外围石道(不含圆切点之间的弧)散步一圈约为多少米?
选项 A、95
B、105
C、115
D、125
答案B
解析 第一步，本题考查几何计算。第二步，如下图。[*]连接三个内切圆的圆心，可知为等边三角形，三个圆之间的弧心角都为60°，可知三个圆之间的弧长各自占三个小圆周长的1／6，剩余部分占三个小圆周长的5／6，根据圆周长公式2πr，则三个圆外弧长石道为2πr×5／6×3=5πr，求出小圆半径即可。第三步，求小圆半径r。做辅助线BE垂直AC，则∠EBC=30°，小圆圆心O引垂线交BC于P，连接OB，则平分∠EBC，可得，∠OBC=15°，根据tan15°=OP／BP≈0．268，BP=25，可得OP=6．7，则三个圆外弧长石道为5πr≈5×3．14×6．7=105．19。因此，选择B选项。
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