设A是3阶矩阵．已知｜A+E｜=｜A+2E｜=｜A+3E｜=0，则｜A+4E｜=___________．

admin2018-03-30 58

问题设A是3阶矩阵．已知｜A+E｜=｜A+2E｜=｜A+3E｜=0，则｜A+4E｜=___________．

选项

答案6

解析法一由题设｜A+E｜=｜A+2E｜=｜A+3E｜=0知，A有三个不同的特征值λ₁=一1，λ₂=一2，λ₃=一3，则A+4E的特征值为3，2，1，故｜A+4E｜=3×2×1=6．
法二由题设｜A+E｜=｜A+2E｜=｜A+3E｜=0知，A有三个不同的特征值λ₁=一1，λ₂=一2，λ₃=一3，故存在可逆阵P，使得P^-1AP=

P^-1，将其代入｜A+4E｜得

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