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  3. 证明：若函数f(x)在[a，b]上可导，且f’+(a)≠f’-(b)，k为介于f’+(a)，f’-(b)之间的任意实数，则至少存在一点ξ∈(a，b)，使得f’(ξ)=k。

证明：若函数f(x)在[a，b]上可导，且f’+(a)≠f’-(b)，k为介于f’+(a)，f’-(b)之间的任意实数，则至少存在一点ξ∈(a，b)，使得f’(ξ)=k。

admin2022-08-12  14
问题 证明：若函数f(x)在[a，b]上可导，且f’+(a)≠f’-(b)，k为介于f’+(a)，f’-(b)之间的任意实数，则至少存在一点ξ∈(a，b)，使得f’(ξ)=k。
选项
答案令F(x)=f(x)-kx，则F(x)在[a，b]上可导，且F’+(a)·F’-(b)=(f’+(a)-k)(f’-(b)-k)＜0。不妨设F’+(a)＞0，F’-(b)＜0，由极限的保号性知，当F’+(a)＞时，δ＞0，对x∈(a，a+δ)有F(a)＞F(x)(F’-(b)＜0同理)。 因为F(x)在[a，b]上可导，所以F(x)在[a，b)上连续，由最值定理知，存在一点ξ∈[a，b]使得F(x)在点ξ处取得最大值，结合式知，ξ≠a，b，即ξ为F(x)的极大值点。进而，由费马定理知，F’(ξ)=0，即f’(ξ)=k，结论得证。
解析
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