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设向量a=(a1，a2，…，an)T，β=(b1，b2，…，bn)T都是非零向量，且满足条件aTβ=0，记n阶矩阵A=aβT，求： (Ⅰ)A2； (Ⅱ)矩阵A的特征值和特征向量．
设向量a=(a1，a2，…，an)T，β=(b1，b2，…，bn)T都是非零向量，且满足条件aTβ=0，记n阶矩阵A=aβT，求： (Ⅰ)A2； (Ⅱ)矩阵A的特征值和特征向量．
admin
2013-09-29
68
问题
设向量a=(a
1
，a
2
，…，a
n
)
T
，β=(b
1
，b
2
，…，b
n
)
T
都是非零向量，且满足条件a
T
β=0，记n阶矩阵A=aβ
T
，求：
(Ⅰ)A
2
；
(Ⅱ)矩阵A的特征值和特征向量．
选项
答案
(Ⅰ)由题设，a，β都是非零向量，且a
T
β=0，则β
T
a=0， 则A
2
=(aβ
T
)(aβ
T
)=(β
T
A)aβ
T
=0，即A
2
为零矩阵． (Ⅱ)由特征值与特征向量的定义，设λ为A的特征值，x为其相应的特征向量， 则Ax=λx，x≠0，由前述知A
2
=0，从而0=AAx=λAx=λ
2
x，即λ=0， 所以A的所有特征值都为0． [*] 所以A的特征向量为k
1
ξ
1
+k
2
ξ
2
+…+k
n-1
ξ
n-1
，其中k
1
，k
2
，…，k
n-1
是不全为0的任意常数．
解析
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考研数学三
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