设直线y=ax与抛物线y=x2所围成的图形面积为S1，它们与直线x=1所围成的图形面积为S2，且a＜1. (1)确定a，使S1+S2达到最小，并求出最小值； (2)求该最小值所对应的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积.

admin2022-08-19 98

问题设直线y=ax与抛物线y=x²所围成的图形面积为S₁，它们与直线x=1所围成的图形面积为S₂，且a＜1.
(1)确定a，使S₁+S₂达到最小，并求出最小值；
(2)求该最小值所对应的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积.

选项

答案(1)直线y=ax与抛物线y=x²的交点为(0，0)，(a²，a²). 当0＜a＜1时，S=S₁+S₂=∫₀^a(ax-x²)dx+∫_a¹(x²-ax)dx=-1/3a³-a/2+1/3， [*] 当a≤0时，S=∫_a⁰(ax-x²)dx+∫₀¹(x²-ax)dx=-1/6a³-a/2+1/3，因为S′=-1/2(a²+1)＜0，所以S(a)单调减少，故a=0时S₁+S₂取最小值，而S(0)=1/3， [*]

解析

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考研数学三

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设直线y=ax与抛物线y=x2所围成的图形面积为S1，它们与直线x=1所围成的图形面积为S2，且a＜1. (1)确定a，使S1+S2达到最小，并求出最小值； (2)求该最小值所对应的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积.

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