2. 考研
  3. 设n维列向量α1，α2，…，αn-1线性无关，且与非零向量β1，β2都正交．证明β1，β2线性相关，α1，α2，…，αn-1，β1线性无关．

设n维列向量α1，α2，…，αn-1线性无关，且与非零向量β1，β2都正交．证明β1，β2线性相关，α1，α2，…，αn-1，β1线性无关．

admin2016-10-20  79
问题 设n维列向量α1，α2，…，αn-1线性无关，且与非零向量β1，β2都正交．证明β1，β2线性相关，α1，α2，…，αn-1，β1线性无关．
选项
答案用α1，α2，…，αn-1构造(n-1)×n矩阵：A=[*]因为β1与每个αi都正交，有αiTβ1=0，进而Aβ1=0，即β1是齐次方程组Ax=0的非零解．同理β2也是Ax=0的解． 又因r(a)=r(α1，α2，…，αn-1)=n-1，齐次方程组Ax=0的基础解系仅由n-r(A)=1个解向量构成，从而β1，β2线性相关．若 k1α1+k2α2+…+kn-1αn-1+lβ1=0， (*) 那么，用β1作内积，有k1(β1，α1)+k2(β1，α2)+…+kn-1(β1，αn-1)+l(β1，β1)=0． 因为(β1，αi)=0 (i：1，2，…，n-1)，及｜｜β1｜｜≠0， 有l(β1，β1)=l｜｜β1｜｜2=0， 得到l=0.将l=0代入(*)式，有k1α1+k2α2+…+kn-1αn-1=0． 由于α1，α2，…，αn-1线性无关，得k1=k2=…=kn-1=0，所以(*)中组合系数必全是零，即α1，α2，…，αn-1，β1线性无关．
解析
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考研数学三

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