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  3. 设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，f(0)＝0，当x＞0时，f(x)＞0．证明对任意自然数k，存在ξ∈(0，1)，使

设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，f(0)＝0，当x＞0时，f(x)＞0．证明对任意自然数k，存在ξ∈(0，1)，使

admin2016-01-25  111
问题 设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，f(0)＝0，当x＞0时，f(x)＞0．证明对任意自然数k，存在ξ∈(0，1)，使
选项
答案令F(x)＝f(x)[f(1－x)]k，则 F(1)＝f(1)[f(0)]k＝0， F(0)＝f(0)[f(1)]k＝0． 由罗尔定理知，存在ξ∈(0，1)使得F′(ξ)＝0，即 f′(ξ)[f(1一ξ)]k－k[_f(1一ξ)]k－1f′(1一ξ)f(ξ)＝0． 整理即得 [*]
解析 将上式中的ξ改为x，并将上式改写为
f′(x)f(1一x)一kf(x)f′(1一x)＝0．
令g(x)＝[f(1－x)]k，应作辅助函数F(x)＝f(x)g(x)，则
F′(x)＝[f(x)g(x)]′＝｛f(x)[f(1一x)]k｝′
      ＝f′(x)[f(1－x)]k－k[f(1-x)]k－1f′(1一x)f(x)．
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考研数学三

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