2. 专升本
  3. 设f(x)在(－∞，＋∞)内连续，且F(x)＝[(x－2t)f(t)dt，试证：若f(x)为偶函数，则F(x)亦为偶函数．

设f(x)在(－∞，＋∞)内连续，且F(x)＝[(x－2t)f(t)dt，试证：若f(x)为偶函数，则F(x)亦为偶函数．

admin2014-04-17  54
问题 设f(x)在(－∞，＋∞)内连续，且F(x)＝[(x－2t)f(t)dt，试证：若f(x)为偶函数，则F(x)亦为偶函数．
选项
答案证明：F(－x)＝∫0－x(－x－2t)f(t)dt 令u＝－t，则F(－x)＝∫0－x(－x＋2u)f(－u)(－1)du＝∫0－x(x－2u)f(－u)du 因为f(－u)＝f(u)，所以F(－x)＝∫0x(x－2u)F(u)du＝F(x)，即F(x)为偶函数。
解析
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