2. 考研
  3. 设a，b，c分别为△ABC的三边，且二次三项多项式x2+2ax+b2与x2+2cx-b2有一次公因式，则△ABC一定是( )。

设a，b，c分别为△ABC的三边，且二次三项多项式x2+2ax+b2与x2+2cx-b2有一次公因式，则△ABC一定是( )。

admin2021-04-30  55
问题 设a，b，c分别为△ABC的三边，且二次三项多项式x2+2ax+b2与x2+2cx-b2有一次公因式，则△ABC一定是(       )。
选项 A、等腰三角形
B、锐角三角形
C、钝角三角形
D、等边三角形
E、直角三角形
答案E
解析 设多项式x2+2ax+b2和x2+2cx-b2的公因式为x-m。
则x=m为方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0的公共根，于是m2+2am+b2=0，m2+2cm-b2=0，两式相加得2m2+2(a+c)m=0，→2m[m+(a+c)]=0，若m=0，代入m2+2am+b2=0得b=0，显然矛盾，所以m=-(a+c)，代入m2+2am+b2=0得(a+c)2-2a(a+c)+b2=0，整理得a2=b2+c2，因此△ABC为直角三角形，故选E。
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