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  3. [2009年第12题]曲面x2+y2+z2=2z之内以及曲面z=x2+y2之外所围成的立体的体积V为( )。

[2009年第12题]曲面x2+y2+z2=2z之内以及曲面z=x2+y2之外所围成的立体的体积V为( )。

admin2018-07-10  6
问题 [2009年第12题]曲面x2+y2+z2=2z之内以及曲面z=x2+y2之外所围成的立体的体积V为(    )。
选项 A、∫02πdθ∫01rdrdz
B、∫02πdθ∫0rrdrdz
C、∫02πdθ∫0rrdr∫r10rdz
D、∫02πdθ∫01rdrdz
答案D
解析 记Ω为曲面x2+y2+z2=2z之内以及曲面z=x2+y2之外所围成的立体，Ω的图如图1．15．1所示，Ω的体积V=dv，因Ω在xOy面的投影是圆域x2+y2≤1，所以有0≤θ≤2π，0≤r≤1，z是从球面x2+y2+z2=2z的下半部到抛物面z=x2+y2，化为柱坐标有1一≤z≤r2，故原积分化为柱坐标下的三重积分有

    故应选D。
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