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  3. 设α=(a1，a2，…，an)T为Rn中的非零向量，方阵A=ααT． 求可逆矩阵P，使P—1AP为对角阵A．

设α=(a1，a2，…，an)T为Rn中的非零向量，方阵A=ααT． 求可逆矩阵P，使P—1AP为对角阵A．

admin2018-08-03  41
问题 设α=(a1，a2，…，an)T为Rn中的非零向量，方阵A=ααT．
求可逆矩阵P，使P—1AP为对角阵A．
选项
答案A≠O．AT=A，1≤r(A)=r(ααT)≤r(α)=1，→r(A)=1，由于实对称矩阵的非零特征值的个数等于它的秩．故矩阵A只有一个非零特征值，而有n—1重特征值λ1=λ2=…=λn—1=0．A的属于特征值0的线性无关特征向瞳可取为(设a1≠0)： ξ1=(一[*]，1，0，…，0)T，ξ2=(一[*]，0，1，…，0)T，…，ξn—1=(一[*]，0，0，…．1)T；属于特征值λn=[*]ai2的特征值为α，令矩阵P=[ξ1 ξ2 … ξn—1 α]，则有P—1AP=diag(0，0，…，0，[*]ai2)对角阵．其中，λn的求法可利用特征值的性质：λ1+λ2+…+λn—1+λn=(A的主对角线元素之和)[*]ai2．
解析
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考研数学一

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