2. 考研
  3. 微分方程y’’-2y’+2y=ex+2x的通解为_________．

微分方程y’’-2y’+2y=ex+2x的通解为_________．

admin2017-05-18  74
问题 微分方程y’’-2y’+2y=ex+2x的通解为_________．
选项
答案y=ex(C1cosx+C2sinx)+ex+x+1
解析 这是一个二阶线性常系数非齐次微分方程求通解问题．
    首先求y’’-2y’+2y=0的通解．y’’-2y’+2y=0的特征方程为r2-2r+2=0，特征根为r1,2=1±i，
所以其通解为Y=ex(C1cosx+C2sinx)．
    其次求y’’-2y’+2y=ex+2x的一个特解．设y1*=Aex是y’’-2y’+2y=ex的一个特解，则
y1*’=y2*’’=Aex，将其代入到y’’-2y’+2y=ex并化简，得A=1，所以y1=ex．
    设y2*=ax+b是y’’-2y’+2y=2x的一个特解，则y2*’=a，y2*’’=0，将其代入到y’’-2y’+2y=2x并化简，比较等式两边x同次幂的系数，得a=1，b=1，所以y2=x+1．故y*=y1*+y2*=ex+x+1是y’’-2y’+2y=ex+2x的一个特解．
    最后写出y’’-2y’+2y=ex+2x的通解，为
y=Y+y*=ex(C1cosx+C2sinx)+ex+x+1．
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