微分方程y’’-2y’+2y=ex+2x的通解为_________．

admin2017-05-18 54

问题微分方程y’’-2y’+2y=e^x+2x的通解为_________．

选项

答案y=e^x(C₁cosx+C₂sinx)+e^x+x+1

解析这是一个二阶线性常系数非齐次微分方程求通解问题．
首先求y’’-2y’+2y=0的通解．y’’-2y’+2y=0的特征方程为r²-2r+2=0，特征根为r_1,2=1±i，
所以其通解为Y=e^x(C₁cosx+C₂sinx)．
其次求y’’-2y’+2y=e^x+2x的一个特解．设y₁^*=Ae^x是y’’-2y’+2y=e^x的一个特解，则
y₁^*’=y₂^*’’=Ae^x，将其代入到y’’-2y’+2y=e^x并化简，得A=1，所以y₁=e^x．
设y₂^*=ax+b是y’’-2y’+2y=2x的一个特解，则y₂^*’=a，y₂^*’’=0，将其代入到y’’-2y’+2y=2x并化简，比较等式两边x同次幂的系数，得a=1，b=1，所以y₂=x+1．故y^*=y₁^*+y₂^*=e^x+x+1是y’’-2y’+2y=e^x+2x的一个特解．
最后写出y’’-2y’+2y=e^x+2x的通解，为
y=Y+y^*=e^x(C₁cosx+C₂sinx)+e^x+x+1．

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