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设A为n阶可逆矩阵,A*是A的伴随矩阵.证明 (1)|A*|=|A|n-1; (2)(A*)T=(AT)*; (3)(A*)-1=(A-1)*; (4)(A*)*=|A|n-2A; (5)(kA)
设A为n阶可逆矩阵,A*是A的伴随矩阵.证明 (1)|A*|=|A|n-1; (2)(A*)T=(AT)*; (3)(A*)-1=(A-1)*; (4)(A*)*=|A|n-2A; (5)(kA)
admin
2016-01-11
65
问题
设A为n阶可逆矩阵,A
*
是A的伴随矩阵.证明
(1)|A
*
|=|A|
n-1
;
(2)(A
*
)
T
=(A
T
)
*
;
(3)(A
*
)
-1
=(A
-1
)
*
;
(4)(A
*
)
*
=|A|
n-2
A;
(5)(kA)
选项
答案
(1)|A
*
| =||A|A
-1
| =|A|
n
|A
-1
| =|A|
n
[*] =|A|
n-1
. (2)(A
*
)
T
=(|A|A
-1
)
T
=|A|(A
-1
)
T
=|A|(A
T
)
-1
=|A
T
|(A
T
)
-1
=(A
T
)
*
. (3)(A
*
)
-1
=(|A|
-1
)
-1
=[*](A
-1
)
-1
=(A
-1
)
-1
=(A
-1
)
*
. (4)(A
*
)
*
=|A
*
|(A
*
)
-1
=[*]=|A|
n-2
A. (5)(kA)
*
=|kA|(kA)
-1
=k
n
|A|[*]A
-1
=k
n-1
|A|A
-1
=k
n-1
A
*
. (6)(AB)
*
=|AB|(AB)
-1
=|A||B|B
-1
A
-1
=|B|B
-1
|A|A
-1
=B
*
A
*
.
解析
本题考查A的伴随矩阵A
*
的概念、性质和运算.
转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/Jq34777K
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考研数学二
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