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设A为n阶可逆矩阵，A*是A的伴随矩阵．证明 (1)｜A*｜=｜A｜n-1； (2)(A*)T=(AT)*； (3)(A*)-1=(A-1)*； (4)(A*)*=｜A｜n-2A； (5)(kA)
设A为n阶可逆矩阵，A*是A的伴随矩阵．证明 (1)｜A*｜=｜A｜n-1； (2)(A*)T=(AT)*； (3)(A*)-1=(A-1)*； (4)(A*)*=｜A｜n-2A； (5)(kA)
admin
2016-01-11
51
问题
设A为n阶可逆矩阵，A
*
是A的伴随矩阵．证明
(1)｜A
*
｜=｜A｜
n-1
；
(2)(A
*
)
T
=(A
T
)
*
；
(3)(A
*
)
-1
=(A
-1
)
*
；
(4)(A
*
)
*
=｜A｜
n-2
A；
(5)(kA)
选项
答案
(1)｜A
*
｜ =｜｜A｜A
-1
｜ =｜A｜
n
｜A
-1
｜ =｜A｜
n
[*] =｜A｜
n-1
． (2)(A
*
)
T
=(｜A｜A
-1
)
T
=｜A｜(A
-1
)
T
=｜A｜(A
T
)
-1
=｜A
T
｜(A
T
)
-1
=(A
T
)
*
． (3)(A
*
)
-1
=(｜A｜
-1
)
-1
=[*](A
-1
)
-1
=(A
-1
)
-1
=(A
-1
)
*
． (4)(A
*
)
*
=｜A
*
｜(A
*
)
-1
=[*]=｜A｜
n-2
A． (5)(kA)
*
=｜kA｜(kA)
-1
=k
n
｜A｜[*]A
-1
=k
n-1
｜A｜A
-1
=k
n-1
A
*
． (6)(AB)
*
=｜AB｜(AB)
-1
=｜A｜｜B｜B
-1
A
-1
=｜B｜B
-1
｜A｜A
-1
=B
*
A
*
．
解析
本题考查A的伴随矩阵A
*
的概念、性质和运算．
转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/Jq34777K
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考研数学二
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