求微分方程y〞－2y′＋y＝χeχ的通解．

admin2014-10-30 48

问题求微分方程y〞－2y′＋y＝χe^χ的通解．

选项

答案先解齐次方程y〞－2y′＋y＝0的通解．因特征方程为r²－2r＋1＝0，故有两个相等实根r₁＝r₂＝1，齐次方程的通解为Y(χ)＝(C₁＋C₂χ)e^χ．再解非齐次方程，由题意，可令非齐次方程的解为y^*＝χ²(aχ＋b)e^χ＝(aχ³＋bχ²)e^χ……①，则y^*′＝(aχ³＋3aχ²＋bχ²＋2bχ)e^χ……②， y^*〞(aχ³＋6aχ²＋bχ²＋6aχ＋4bχ＋2b)e^χ……③，将①②③式代入原方程可得，6aχ＋2b＝χ，则a＝[*]，b＝0，[*]，故原方程的通解为y＝Y(χ)＋y^*＝(C₁＋C₂χ)e^χ＋[*]

解析

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