2. 考研
  3. 已知向量组(I)β1=(0，1，一1)T，β2=(a，2，1)T，β3=(b，1，0)T与向量组(Ⅱ)α1=(1，2，一3)T，α2=(3，0，1)T，α3=(a，b，一7)T有相同的秩，且β3可由α1,α2,α3线性表示，求a，b的值．

已知向量组(I)β1=(0，1，一1)T，β2=(a，2，1)T，β3=(b，1，0)T与向量组(Ⅱ)α1=(1，2，一3)T，α2=(3，0，1)T，α3=(a，b，一7)T有相同的秩，且β3可由α1,α2,α3线性表示，求a，b的值．

admin2016-01-11  61
问题 已知向量组(I)β1=(0，1，一1)T，β2=(a，2，1)T，β3=(b，1，0)T与向量组(Ⅱ)α1=(1，2，一3)T，α2=(3，0，1)T，α3=(a，b，一7)T有相同的秩，且β3可由α1,α2,α3线性表示，求a，b的值．
选项
答案显然α1，α2线性无关，且3α1+2α2=α3，所以向量组α1,α2,α3的秩r(α1,α2,α3)=2，且α1，α2是向量组α1,α2,α3的一个极大线性无关组，于是r(β1，β2，β3)=2，从而｜β1，β2，β3｜=0，即[*]又β3可由α1,α2,α3线性表示，所以β3可由其极大线性无关组α1，α2线性表示，从而β3，α1，α2线性相关，于是[*]解得a=15，b=5．
解析 本题考查向量线性表示和向量组秩的概念．要求考生掌握“向量组线性相关向量组中至少有一个向量能由其余的向量线性表示”，“向量组线性相关由它们排成的行列式等于零”，“一个向量能由一组向量线性表示，则该向量就能由其极大线性无关组线性表示”．
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考研数学二

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