设f(x)在区间(0，+∞)内绝对可积，则∫0+∞f(x)sinnxdx=0．

admin2022-11-23 2

问题设f(x)在区间(0，+∞)内绝对可积，则

∫₀^+∞f(x)sinnxdx=0．

选项

答案由于f(x)在(0，+∞)内绝对可积，故对任意的ε＞0，存在N＞0，当a≥N时，有｜∫_a^+∞f(x)dx｜≤∫₀^+∞｜f(x)｜dx＜ε／2，又由于[*]∫₀^Nf(x)sinnxdx=0．故存在M＞0，当n＞M时，有｜∫₀^Nf(x)sinnxdx｜＜ε／2，从而当n＞M时，有｜∫₀^+∞f(x)sinnxdx｜≤｜∫₀^Nf(x)sinnxdx｜+｜∫_N^+∞f(x)sinnxdx｜＜[*]+｜∫_N^+∞｜f(x)｜sinnxdx｜＜[*]=ε．因此，[*]｜∫₀^+∞f(x)sinnxdx=0．

解析

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