求二元函数z=f(x，y)=x2y(4一x一y)在直线x+y=6，x轴与y轴围成的闭区域D上的最大值与最小值。

admin2019-04-22 69

问题求二元函数z=f(x，y)=x²y(4一x一y)在直线x+y=6，x轴与y轴围成的闭区域D上的最大值与最小值。

选项

答案先求在D内的驻点，即 [*] 解得 [*] 因此在D内只有驻点[*]相应的函数值为f(2，1)=4。再求f(x，y)在D边界上的最值： ①在x轴上y=0，所以f(x，0)=0； ②在y轴上x=0，所以f(0，y)=0； ③在x+y=6上，将y=6一x代入f(x，y)中，得 f(x，y)=2x²(x一6)，因此f’_x=6x²—24x=0，得x=0(舍)，x=4。所以y=6一x=2。于是得驻点[*] 相应的函数值f(4，2)=x²y(4一x一y)｜_(4，2)=一64。综上所述，最大值为f(2，1)=4，最小值为f(4，2)=一64。

解析

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