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设实二次型f(x1，x2，x3)=(x1－x2+x3)2+(x2+x3)2+(x1+ax3)2，其中a是参数． (1)求f(x1，x2，x3)=0的解； (2)求f(x1，x2，x3)的规范形．
设实二次型f(x1，x2，x3)=(x1－x2+x3)2+(x2+x3)2+(x1+ax3)2，其中a是参数． (1)求f(x1，x2，x3)=0的解； (2)求f(x1，x2，x3)的规范形．
admin
2019-05-11
96
问题
设实二次型f(x
1
，x
2
，x
3
)=(x
1
－x
2
+x
3
)
2
+(x
2
+x
3
)
2
+(x
1
+ax
3
)
2
，其中a是参数．
(1)求f(x
1
，x
2
，x
3
)=0的解；
(2)求f(x
1
，x
2
，x
3
)的规范形．
选项
答案
(1)f(x
1
，x
2
，x
3
)=0 [*] 对上面这个齐次线性方程组的系数矩阵施行初等行变换： [*] 可见当a－2≠0，即a≠2时，该方程组只有零解x=0，即方程f=0只有零解x=0； 当a=2时，由 [*] 得方程组的通解、即方程f(x
1
，x
2
，x
3
)=0的解为 [*] (2)由(1)知当a≠2时，f是正定的，因此f的规范形是f=y
1
2
+y
2
2
+y
3
2
； 当a=2时，对f配方得 f=2(x
1
－[*]x
3
)
2
+[*](x
2
+x
3
)
2
， 可见f的秩为2，f的正惯性指数也是2，所以f的规范形是f=y
1
2
+y
2
2
．
解析
转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/JBJ4777K
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考研数学三
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